Уравнение Кортевега — де Фриза

Уравне́ние Кортеве́га — де Фри́за (уравнение КдФ; также встречается написание де Вриза, де Вриса, де Фриса, Де Фриса; англ. Korteweg–de Vries equation) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году, но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и Густавом де Врисом в 1895 году.

Уравнение имеет вид:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = 0 }[/math].

Решения

Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида:

[math]\displaystyle{ u \left( x,t \right) = \frac{2\kappa^2}{\cosh^2 \left[ \kappa \left( x-4\kappa^2t-x_0 \right)\right]} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость; [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси x. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния.

Периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза имеют вид кноидальных волн, описываемых эллиптическими интегралами:

[math]\displaystyle{ x-ct-x_0 = \int \left( 2E + cu^2 - 2u^3 \right)^{-\frac{1}{2}}du }[/math]

где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период.

Также уравнение Кортевега — де Фриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве.

Интегралы движения и представление Лакса

Уравнение Кортевега — де Фриза имеет важное значение для теории интегрируемых систем как один из простейших примеров точно решаемого нелинейного дифференциального уравнения. Интегрируемость обеспечивается наличием у уравнения бесконечного количества интегралов движения, имеющих вид

[math]\displaystyle{ I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} P_{2n-1}(u,\, \partial_x u,\, \partial_x^2 u,\, \ldots)\, \text{d}x\, }[/math]

где [math]\displaystyle{ P_n }[/math] — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, заданные рекурсивно следующим образом:

[math]\displaystyle{ \begin{align} P_1&=u, \\ P_n &= -\frac{dP_{n-1}}{dx} + \sum_{i=1}^{n-2}\, P_i\, P_{n-1-i}, \quad n \ge 2. \end{align} }[/math]

Их можно получить, воспользовавшись представлением Лакса

[math]\displaystyle{ \frac{dL}{dt}=[P,L] }[/math]

посредством пары операторов

[math]\displaystyle{ \begin{align} L &= -\partial_{x}^2+u, \\ P &= -4\partial_{x}^3+6u\partial_{x}+3u_x. \end{align} }[/math]

Более того, можно показать, что уравнение Кортевега — де Фриза имеет бигамильтонову структуру.

Несколько первых интегралов движения:

• масса [math]\displaystyle{ \int u\, \text{d}x, }[/math]
• импульс [math]\displaystyle{ \int u^2\, \text{d}x, }[/math]
• энергия [math]\displaystyle{ \int \left[ 2 u^3 - \left( \partial_x u \right)^2 \right] \, \text{d}x. }[/math]

Обобщения

При наличии диссипации уравнение Кортевега — де Фриза переходит в уравнение Бюргерса — Кортевега — де Фриза, имеющее вид

[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} }[/math]

где параметр [math]\displaystyle{ \nu }[/math] характеризует величину диссипации.

В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — де Фриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3}\right) = \pm \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} }[/math]

Литература

• Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления).
• Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. — 1980. — 319 с.
• Кортевега — де Фриса уравнение — статья из Физической энциклопедии
• Дж. Уизем. 13.11. Уравнение Кортевега — де Фриза и Буссинеска // Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 443—448. — 622 с.
• Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — 1989. — 326 с.